資料結構：平衡樹 (Balanced Tree) - AVL Tree

Tue, 27 Jun 2023 07:15:40 +0800

AVL樹

AVL樹是最早提出的自平衡二元搜尋樹。它通過維護每個節點的平衡因子(左子樹高度減去右子樹高度)。
在每次插入或刪除操作後進行調整，以確保樹保持平衡。

AVL 樹由 Georgy Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis 於 1962 年提出的一種自平衡二元搜尋樹。
它的平衡性通過維護每個節點的平衡因子（Balance Factor）來確保，該平衡因子表示左子樹高度減去右子樹高度的差值。

當在AVL樹中進行插入或刪除操作時，可能會破壞樹的平衡。
在這種情況下，需要通過旋轉操作來恢復平衡。旋轉操作分為左旋和右旋兩種：

左旋：當某個節點的右子樹高度過高時，進行左旋操作可以降低右子樹高度，同時提升該節點的左子樹高度。
右旋：當某個節點的左子樹高度過高時，進行右旋操作可以降低左子樹高度，同時提升該節點的右子樹高度。

這些旋轉操作的目的是保持樹的平衡，使得樹的高度始終保持在O(log n)的範圍內。儘管AVL樹提供了較嚴格的平衡性，但相對而言，它需要更多的旋轉操作，因此插入和刪除的成本較高。

以下是 AVL 樹進行平衡的規則

AVL 樹在插入或刪除節點後，可能會失去平衡，也就是某些節點的左子樹和右子樹的高度差超過 1。為了維護 AVL 樹的平衡性，我們需要進行旋轉操作。

左旋轉（Left Rotation）：
1. 條件：當一個節點的右子樹比左子樹高度多 2 層或以上時，我們進行左旋轉操作。
2. 作法：左旋轉可以將該節點的右子樹提升為新的根節點，同時將原根節點降低為新根節點的左子樹。這樣可以保持左子樹和右子樹的高度差不超過 1。
右旋轉（Right Rotation）：
1. 條件：當一個節點的左子樹比右子樹高度多 2 層或以上時，我們進行右旋轉操作。
2. 作法：右旋轉可以將該節點的左子樹提升為新的根節點，同時將原根節點降低為新根節點的右子樹。這樣可以保持左子樹和右子樹的高度差不超過 1。
左右旋轉（Left-Right Rotation）：
1. 條件：當一個節點的左子樹比右子樹高度多，且該節點的左子樹的右子樹比左子樹的左子樹高度多時，我們進行左右旋轉操作。
2. 作法：先對該節點的左子節點進行左旋轉，然後對原節點進行右旋轉。
右左旋轉（Right-Left Rotation）：
1. 條件：當一個節點的右子樹比左子樹高度多，且該節點的右子樹的左子樹比右子樹的右子樹高度多時，我們進行右左旋轉操作。
2. 作法：先對該節點的右子節點進行右旋轉，然後對原節點進行左旋轉。

這些旋轉操作可以調整 AVL 樹的結構，使其保持平衡。在進行插入或刪除操作後，我們需要檢查節點的平衡因子，即左子樹高度減去右子樹高度。

如果平衡因子大於 1，表示左子樹高於右子樹，則需要進行右旋轉或左右旋轉；
如果平衡因子小於 -1，表示右子樹高於左子樹，則需要進行左旋轉或右左旋轉。

通過這些旋轉操作，我們可以保持 AVL 樹的平衡性。

實作

class AVLNode {
  constructor(value) {
    this.value = value;
    this.left = null;
    this.right = null;
    this.height = 1;
  }
}

class AVLTree {
  constructor() {
    this.root = null;
  }

  // Helper function to get the height of a node
  getHeight(node) {
    if (node === null) return 0;
    return node.height;
  }

  // Helper function to update the height of a node
  updateHeight(node) {
    node.height = 1 + Math.max(this.getHeight(node.left), this.getHeight(node.right));
  }

  // Helper function to perform left rotation
  leftRotate(z) {
    const y = z.right;
    const T2 = y.left;

    y.left = z;
    z.right = T2;

    this.updateHeight(z);
    this.updateHeight(y);

    return y;
  }

  // Helper function to perform right rotation
  rightRotate(z) {
    const y = z.left;
    const T3 = y.right;

    y.right = z;
    z.left = T3;

    this.updateHeight(z);
    this.updateHeight(y);

    return y;
  }

  // Helper function to get the balance factor of a node
  getBalanceFactor(node) {
    if (node === null) return 0;
    return this.getHeight(node.left) - this.getHeight(node.right);
  }

  // Helper function to insert a value into the AVL tree
  insertHelper(node, value) {
    if (node === null) {
      return new AVLNode(value);
    }

    if (value < node.value) {
      node.left = this.insertHelper(node.left, value);
    } else if (value > node.value) {
      node.right = this.insertHelper(node.right, value);
    } else {
      // Duplicate values are not allowed in AVL tree
      return node;
    }

    this.updateHeight(node);

    const balanceFactor = this.getBalanceFactor(node);

    // Left Left Case
    if (balanceFactor > 1 && value < node.left.value) {
      return this.rightRotate(node);
    }

    // Right Right Case
    if (balanceFactor < -1 && value > node.right.value) {
      return this.leftRotate(node);
    }

    // Left Right Case
    if (balanceFactor > 1 && value > node.left.value) {
      node.left = this.leftRotate(node.left);
      return this.rightRotate(node);
    }

    // Right Left Case
    if (balanceFactor < -1 && value < node.right.value) {
      node.right = this.rightRotate(node.right);
      return this.leftRotate(node);
    }

    return node;
  }

  // Function to insert a value into the AVL tree
  insert(value) {
    this.root = this.insertHelper(this.root, value);
  }

}

參考資料

👍 大力推薦參考圖文並茂超完整圖解何時該左旋何時該右旋【JavaScript 學演算法（十五）- AVL-Tree】

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AVL樹

以下是 AVL 樹進行平衡的規則

實作

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