約瑟夫問題（Josephus Problem）

Thu, 29 Jun 2023 14:03:21 +0800

介紹

約瑟夫問題（Josephus Problem）是一個古老的數學問題，其名稱源自於猶太歷史學家弗拉維奧·約瑟夫斯（Flavius Josephus）。這個問題描述了一個關於生存和順序的遊戲。

問題的背景是這樣的：

假設有N個人（編號從1到N）站成一個圓圈狀。一開始，從第一個人開始按照順時針方向報數，報到第M個人就將其移出圈子，然後再從下一個人開始重新報數，如此重複，直到只剩下一個人為止。

問題的目標

目標是找到最後生存下來的那個人的編號**。
即，如果 N = 7，M = 3，那麼經過一輪報數和移除操作後，順序會變成3，6，2，7，5，1，最後剩下的是4號。

約瑟夫問題並不僅限於具體的數字，而是一個普遍的抽象問題，可以用數學方式來解決。

解決這個問題的一種經典方法是使用遞迴（recursion）。

基於遞迴的解法如下：

如果只有一個人（N=1），那麼他就是最後的生存者，回傳他的編號。
否則，從第一個人開始報數，並將每個第M個人移除。
移除完畢後，從下一個人開始重新遞迴調用這個過程（N-1個人）。
將遞迴返回的結果（即下一輪的最後生存者編號）調整到當前的編號對應的位置，然後回傳結果。

這樣，通過不斷遞迴和移除操作，最後得到的結果就是約瑟夫問題的解。

需要注意的是，

約瑟夫問題的解並不唯一，它取決於初始的 N 和 M 的值。
這個問題在數學和計算機科學中都有廣泛的應用，包括編程、遊戲理論等領域。

李永樂老師的講解

Youtube 影片

紀錄

先介紹了當k=2時的基本情況，然後討論了更一般的情況。

影片提供了遞推式來解決這個問題，將最後剩下的人表示為f(N, k)，其中N表示最初的人數，k表示每隔多少人殺一個。

他們的編號不同，例如原先的 4 號現在成了 1 號，原先的 5 號現在成了 2 號，原先的 6 號現在成了 3 號。
這意味著他們的編號相差3。
這個差值3正好對應到每隔幾人殺一個的k值。
因此，我們需要將這個差值加上k，這樣新的編號就會與原先的編號相同了。

影片解釋了遞推式的計算過程，並提到如果計算結果大於N，則需要減去N，相當於去取餘數。

最後給予一個範例呈現。
N = 8，總共 8 個人。
K = 3，每隔 3 個人殺一個。
最後生存者是 7 號。

流程圖

若想要清楚流程圖，大力推薦參考資料【Josephus Problem - GeeksforGeeks】

當 N = 5, K = 1 時候的流程圖。最後生存者是 3 號。

實作

// return the position of last man survives
function Josephus(n, k) {
    let i = 1;
    let ans = 0;
    while (i <= n) {

        // update the value of ans
        ans = (ans + k) % i;
        // 再進行下一個 i
        i++;
    }

    // 編號從 1 開始
    return ans + 1;
}

// This code is contributed by sarveshc111.

let n = 1; // 總人數
let k = 1; // 每次報數的數字
let lastSurvivor = Josephus(n, k);
console.log("最後生存者的編號是：", lastSurvivor);

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Josephus Problem on Jenny blog